CONTROLE FINAL

TECHNIQUES SPATIALES

Mécanique spatiale

Année 1995/96

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PROBLEME I : PERFORMANCES LANCEUR

PROBLEME II : SATELLITE D'IMAGERIE

EXERCICE III: TIR D'HOHMANN ET TREMPLIN GRAVIFIQUE SUR JUPITER

EXERCICE IV: PARAMETRES ORBITAUX

Présentation, orthographe et qualité de la rédaction appréciées pour 1 point.

Guiziou, décembre 1995

I PERFORMANCES LANCEUR

Un lanceur bi-étages, dont le devis de masse apparaît ci-dessous, injecte une masse utile de 800 kg, au périgée Zp = 222 km d'une orbite elliptique, à une latitude de 38°. Le tir est opéré vers l'Est.

Mp1=30000 kg (Ergols du premier étage )

Ms1=3000 kg ( Structure du premier étage )

Mp2=4000 kg (Ergols du deuxième étage )

Ms2=500 kg ( Structure du premier étage )

Mc=150 kg (Coiffe supposée larguée en fin de premier étage)

Mu=800 kg ( Masse utile )

Isp1=2900 m/s ou 295.6167 s ( Impulsion spécifique du moteur 1 )

Isp2=4400 m/s ou 448.5219 s ( Impulsion spécifique du moteur 1 )

Les pertes totales sur la mission s'élèvent à 1700 m/s.

1°) Calculer l'apogée de l'orbite obtenue.

2°) On souhaite circulariser cette orbite lors du passage à l'apogée, à l'aide d'un moteur de caractéristiques: Isp=3000 m/s, w = 0.14

Calculer la masse finale (avec le moteur vide), non séparé, sur l'orbite circulaire.

mT=39.86 104 km3/s-2, RT=6378 km, T=23 h 56 mn 4 s

Donner l'accélération statique (accélération due à la propulsion seulement ) en fin de combustion de l'étage de circularisation en supposant un débit de 5 kg/s.

II SATELLITE D'IMAGERIE

Donner les caractéristiques (a, i) d'une orbite héliosynchrone phasée circulaire, de période de répétitivité T = 26 jours, devant assurer une couverture de la terre avec des traces exactement distantes de 1° sur l'équateur.

mT=39.86 104 km3/s-2 RT=6378 km J2 = 1.082 10-3

Donner l'azimut absolu de tir, pour une injection à une latitude de 58°.5.

III Voyage interplanétaire

Une sonde est injectée, au voisinage de la terre à Zo = 422 km du sol terrestre, à destination de la planète Jupiter, avec un vol de type Hohmann.

Les orbites des planètes sont supposées circulaires et concentriques.

TERRE======>mT = 39.86 104 km3/s-2 RT =6378 km

JUPITER =======>mJ = 1.268 108 104 km3/s-2 RJ =71400 km

SOLEIL =====> mS = 13.27 1010 104 km3/s-2

Distance Soleil - Jupiter = 750 106 km

Distance Soleil - Terre = 149.6 106 km

1°) Calculer alors les éléments caractéristiques de l'orbite de transfert héliocentrique de la sonde. Donner la durée en jours du voyage héliocentrique.

2°) La planète Jupiter est survolée à 30000 km de la surface, calculer :

La vitesse de survol au périgée

L'incrément de vitesse DV que la planète "offre" à la sonde dans le tremplin gravifique.

3°) Le tir est effectué de telle manière que l'on profite au mieux de la vitesse d'entraînement de la terre autour du soleil.

Quelle a été la vitesse absolue d'injection à 422 km du sol terrestre?

IV PARAMETRES ORBITAUX

Un tir est effectué le 30 décembre 1995 à 0 heure, au dessus d'un point de latitude 28°.

Les conditions absolues utiles du tir sont:

Vo = 9780 m/s

go = 0°

Zo = 222 km (Altitude sol)

lo = 28° (On le rappelle)

bo = 90 ° (Azimut absolu).

Calculer :

1°) Les paramètres orbitaux a, e, i, w (montrer que w = p/2 ) tp date de passage au périgée, de la trajectoire képlérienne qui résulte du tir.

2°) La vitesse relative du tir.

3°) A quelle heure le satellite survolera-t-il, à la première occurrence, le noeud ascendant de l'orbite? La longitude est alors Lg(N) = -15° Est

Déduire alors le dernier des paramètres orbitaux W.

On donne l'heure sidérale de Greenwich le 30 décembre 1995 à 0 heure lg(t)=97°.96

 

SOLUTION RAPIDE

I PERFORMANCES LANCEUR

1°) Orbite obtenue :

Mo1=38450 kg, Mf1 = 8450 kg, l1 = 4.5503, DV1 = 4394.1 m/s

Mo2=5300 kg, Mf1 = 1300 kg, l1 = 6.1835, DV2 = 6183.5 m/s

DVprop = 10577.6 m/s, VR = DVprop - DV pertes = 8877.6 m/s

Les conditions du tir permettent d'affirmer que la vitesse absolue et la vitesse relative sont colinéaires.

Vet = 379.3 m/s donc Vabs = 9256.9 m/s, E = - 17.5488 km²/s², a = 11356.9 km, Ra = 16113.8 km, Za = 9735.75 km

2°) Masse en orbite :

La vitesse circulaire est Vc= 4973.6 m/s, la vitesse à l'apogée vaut Va = 3791.5 m/s, le complément de vitesse vaut donc

DV = Vc - Va = 1182.1 m/s = IspLnl ===> l = 800/(800 - Mp) ===> Mp = 260.5 kg, Ms = 36.5 kg et la masse restante du satellite M= 539.5 kg.

Accélération : le lecteur trouvera 27.8 m/s²

II SATELLITE HELIOSYNCHRONE

La période de répétitivité est TR, celle du satellite Ts et nous avons : TR = 26 jours = 26*86400 s = 360 Ts d'où la période satellite Ts = 6240 s ce qui correspond à a = 7325.7 km et une altitude sol de 947.7 km.

Nous savons qu'un satellite héliosynchrone satisfait à une relation a = f(i) que le lecteur ira rechercher, ce qui donne i = 99°.24.

III TRANSFERT D'HOHMANN

1°) Orbite héliocentrique et durée :

2a = (750+149.6) 106 km donc a = 449.8 106 km, e = 1 - Rp/a = 0.6674, T = 1903.14 jours solaires moyens; La durée du voyage est de 951.5 jours.

2°) Survol de Jupiter :

A l'apogée la vitesse de la sonde et de Jupiter sont colinéaires, vues les simplifications adoptées pour ce type de mission. La vitesse relative d'arrivée ou encore vitesse à l'infini d'entrée dans la sphère d'influence vaut -5.631 ( différence entre la vitesse de la sonde 7.7671 km/s et celle de Jupiter 13.302 km/s.

La conservation de l'énergie sur l'hyperbole de descente, donne Vp = 5.0326 km/s, vitesse au périgée.

3°) Quelle a été la vitesse absolue d'injection à 422 km du sol terrestre?

La vitesse au périgée vaut 38.457 km/s et résulte de la somme de Vt et de la vitesse à l'infin d'évasion par rapport à la Terre.

VT= 29.783 km/s et Vinfini = 8.674 km/s.

La conservation de l'énergie sur l'hyperbole de départ dans la sphère d'influence de la Terre, donne la vitesse d'injection à 422 km du sol : 13.873 km/s.

IV PARAMETRES ORBITAUX

1°) Paramètres :

E = - 125697 km²/s² ====> a = 15855.5 km.

Comme go =0°, l'injection a lieu au p^érigée et donc Rp = a(1-e) ===> e = 0.58374.

cosi = coslo sinbo ===> i = 28°

sinlS = sini sin(q+w) ===> w = 90°

Le premier passage au périgée est naturellement tp = 30/12/1884 0 h.

2°) Vitesse relative de tir :

Le lecteur se convaincra que le tir est plein Est ce qui donne donc pour Vet = 424.95 m/s, VR = 9355.05 m/s

3°) Calcul de W :

Pour atteindre le nœud descendant le satellite doit vérifier q = 270° ce qui donne une anomalie excentrique j = Arccos(e) = 305°.714 = 5.33572 rd, et un temps de parcours depuis le périgée de 5 h 6 mn 12 s.

lg(30/12/1994 5 h 6 mn 12 s) = lg(to) +wT*(t-to) = 97°.96 + 360*18371.88/86164 =174°.72

La longitude Greenwich du nœud vaut LG(N) = W -lg(t) ===> W = 159°.72.

Guiziou Robert mars 2002